继续一些“初等”数学的问题……

还是从内积说起。记得上次我写内积是这么定义的：

其实——这是错的。因为少了个条件，就是。

忘了上次怎么碰到内积的，应该是Machine Learning吧，那里似乎没有复数呢。
不过这次在Quantum的世界里，到处都是复数——complex啊！

如果，很多东西就不一样了。

首先是内积的计算，变成了这个样子：。
向量被取了共轭，这似乎是物理上的定义;
数学上还有另一种定义：，意思就是对取共轭。
这两种算出来的内积结果是一样的。

引用一段参考，这里与是参考系的单位向量，理解成2维空间(复数空间)里x、y方向上的单位向量即可：

The source of confusion is that there are two different conventions for inner products of two complex vectors: they differ on whether to take complex conjugates of the entries of the first vector or the second vector. More concretely, if we have two vectors and , the Math convention is to define the inner products of those two vectors as . In contrast, the Physics convention defines it as $a^c+b^d$. Of course, the two answers are closely related, they are complex conjugates of each other. This issue will be clarified once we formally introduce the bra-ket notation in a couple of lectures - we will follow the Physics convention.

Umesh Vaziran

然后是这个东西——模：
简单起见令，a是实部，b是虚部。
那么

嗯，这个看上去也挺简单的，然后复杂一点儿的来了：
先类似，令，然后根据向量的模定义，
有
这个就是定义用公式了，先放在这里。

上次我已经证过了施瓦茨不等式在实系数向量上成立，现在看一下复系数向量：
还是这个式子：
用换掉，有
代入，有

因为内积结果都是实数，左边是个实数平方，所以可以随便加绝对值，即
再看右边的一个局部，
一个复数乘以它的共轭，结果是模的平方
然后，右边就可以整体写作
即
这里都是2维，如果拓展到n维，则有

当然这不是证明，我只是考察一下各个公式的关系而已。
这就是伟大的“柯西洗袜子”不等式了……大学时候一直这么叫。

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下面是俺量子物理的作业题（抽象成纯数学模型后的形式）：

根据单位向量的定义，当为单位向量时，有一个伟大的等式成立：

即

定义：在坐标基与下，可以写成的形式，
只是个记号形式，还是那个复系数向量。
定义：计算Spread的函数，
现在求证：

(1)　
　　
　　
(2)　
　　

然后——然后变换坐标基！！！
从与变换到与，此时
关系为
定义，定义不变

此时求证：

(3)　
　　　　
　　　　
　　所以，
　　所以，
　　同理，
　　两式一并除以系数得，对任意，有
(4)　由(3)得
　　由(2)得
　　由于，故

写完这篇文章的时候，我似乎有那么一点儿明白的希尔伯特空间是怎么回事了。