被遗忘了的初等数学

(从这篇文章开始，使用latex作为数学算式显示引擎)

第一道证明题

今天看到一个式子:
到这里为止没什么问题，我想这应该是最简单的向量内积定义了，大概是中学生都明白吧。
然后
突然就不明白为什么了……
研究了半天好像第二条也是定义，奇怪了，一个名词怎么能有俩定义？不得已只有自己动手证一下

其实我连的展开都忘了，后来查初等数学的资料，才想起来。

第二道证明题

偶然翻到施瓦茨不等式的证明,这里x、y都是向量：




又是想了半天最后一步是怎么来的，后来才想起来，delta啊，一元二次方程解个数的判定条件啊。
，不好意思，哥已经把你忘记很多很多年了……今天才想起来。

第三道证明题

顺带又想起一道印象颇深的高中证明题，题目很清楚明了，

初次遇到应该是某次数学考试上，当时我怎么都想不出来，于是使用了暴力手段：

我用了求导，不属于初等数学的技巧，如果不是高中时参加竞赛多学了一些，这种题真心不会做……

后来老师公布了答案，答案非常的trick，使用了单位圆，懒得作图，所以简单叙述之。

——谨以此文纪念我那遗忘多年的高中数学，以及半年不用的latex。